实数系争地理论 第一章 单次争地 定义1-势力： 势力是这个领域最基础的研究对象与理论单位。 定义2-世界： 世界是特定一些势力的集合，只有在同一个世界中的势力才能互动，世界的通称符号为W(World)，若有名字，则记作W(世界名)。 定义3-势力名： 每个势力都至少有一个名字，称为国名。同一个世界中的势力不能重名，而不同世界中的势力可以重名。国名的通称为n(name)。世界W里的同一个势力的不同国名构成W上的一个等价类。 延伸1-广义国名： 国名之间的运算表示相同函数对不同势力间运算的省略，世界名W也可以代表世界W内所有国名的总和。世界W里的国名与实数的全部运算结果构成W上的广义国名域RN(W)，其中的元素为广义上的国名N∈RN(W)。在复合函数上的国名运算，同括号等级下函数的导数与积分顺序最优先，国名运算居中，函数复合靠后。 定义4-时刻： 时刻是时间在瞬间的度量，符号为t(time)。时刻是一个实数，单位为回合，单位符号为w(wave)。 定义5-零时刻： 零时刻是时间轴的原点，时间系的参考时刻。零时刻记作t0=0(w)，其它所有时刻都是相对于零时刻而言的。 定义6-初时刻： 初时刻是一个世界最开始推演的时刻，记作ft(first time)。世界的所有初始条件都要在初时刻精确输入。初时刻必须为实数。 定义7-末时刻： 初时刻是一个世界最后结束推演的时刻，记作lt(last time)。世界的所有推演结果都要在初时刻精确输出。末时刻可以为实数或正无穷，即lt∈R∪{+∞}。 定义8-时段： 时段是无限多时刻组成的闭区间，记作T=[t1,t2]，其中t1,t2分别是时段的左端点和右端点。 定义9-时长： 时长是表示时段长度的正实数，记作△T=△[t1,t2]=t2-t1，单位和时刻相同。 定义10-全时段： 全时段表示世界中全部的时间，是从初时段到末时刻的连续时刻集，记作AT(All Time)=[ft,lt]。特别地，若末时刻为正无穷，则全时段长不是正实数，而也是正无穷，且右侧为开区间，即△AT=△[ft,lt)=[ft,+∞)=+∞(w)。 定义11-实力： 实力象征一个势力的综合力量的总和，衡量一个势力在世界上的强弱。实力用一个非负实数表示，符号为P(Power)，其单位为点，单位符号为p(point)。 实力是由国名和时刻决定的二元函数，记作P(N,t)。 定义12-统裂存亡： 当A势力拥有所在的世界W内所有实力，即P(A)=P(W)时，称A势力统一世界W，为(W的)统势力。若P(A)=0(p)，则称A势力灭亡，为亡势力，此时A= 0，即有P(0)=0，A势力未灭亡即A≠0，为存势力。W(t)表示t时刻W内所有存势力的集合。 定义13-争地： 争地是一个势力夺取另一个势力的实力的一段行为，前提条件是争地势力与被争地势力都不能灭亡。争地是由争地势力，被争地势力和争地时段决定的三元事件映射z(A,B,T)。 公式1-实力守恒： 经过任意时段内的全部争地，全部争地势力与被争地势力的实力总和守恒。设W(ft)={A,B}，且只有A对B的争地，则表现为 P(A+B,t1)=P(A+B,t2)=P(A+B,ft)， 写成对时间t的导数形式为 P'(A+B,t)=0。 公式2-双实力解： 由公式1的实力守恒推导得 P(A,t)=[P(A+B,ft)+P(A-B,t)]/2, P(B,t)=[P(A+B,ft)+P(B-A,t)]/2， 写成对时间t的导数形式为 P'(A,t)=P'(A-B,t)/2, P'(A,t)=P'(B-A,t)/2。 定义14-争地量： 争地量是表示一段争地夺取的点数的多少的一个实数，记作△z(A,B,T)，单位和实力相同。 定义15-争地速度： 争地速度是表示一段争地平均快慢的实数，记作｀z(A,B,T)=△z(A,B,T)/△T，单位为点/回合，单位符号为p/w。 定义16-争地速率： 争地速率是争地速度在其时长趋于零，即时段趋于某时刻时的极限，是一个表示该时刻争地快慢的实数，符号为v(velocity)，单位与争地速度相同。争地速率是由争地势力，被争地势力与时刻决定的三元函数，记作v(A,B,t)=lim(t1→t+)`z(A,B,[t,t1])=dz/dt。 公式3-夺损相等： 设W(ft)={A,B}，且只有A对B的争地，则争地势力夺得的争地量与被争地势力损失的争地量相等，即 △P(A,T)=-△P(B,T)=△z(A,B,T),△P(A-B,T)=2*△z(A,B,T)， 两边求导得 P'(A,t)=-P'(B,t)=v(A,B,t),P'(A-B,t)=2*v(A,B,t)。 定义17-(无)争时段： T(A,B,z)表示A势力对B势力争地的时段，称为A对B的争时段，定义式为T(A,B,z)={t:v(A,B,t)>0}，相对地，T(A,B,z0)表示A势力对B势力无争地的争时段，称为无争时段，定义式为T(A,B,z0)={t:v(A,B,t)=0}。争时段和无争时段都为无限连续时刻集。全世界的争时段与无争时段分别简记作Tz=T(W,W,z)与Tz0=T(W,W,z0)，其并集即为总时段，即Tz∪Tz0=AT。 公式4-势不自争： 任意势力A在全时段上对自身的争地量为零，即△P(A,A,AT)=0，故计算A的总争地量与总被争地量时默认将A排除在外地W，即△P(A,W,T)=△P(A,W\{A},T),△P(W,A,T)=△P(W\{A},A,T)，且对本势力全没有争时段，只有无争时段充满全时段，表示为T(A,A,z)=Ø,T(A,A,z0)=AT。 定义18-争地频率： 若按经典规则，争地速率与争地势力的实力成正比，则其正比率称为争地频率，符号为k=v(A,B,t)/P(A,t)，若该世界各势力存在的争地频率都相等，则可记作k，若不等，则只能在该世界下记为k(A)。争地频率的定义式可以变形为争地速率的一种决定式v(A,B,t)=[k*P](A,t)。争地频率的单位为点/回合*点=(回合)^(-1)=回兹，单位符号为1/w=hz(hetz)。 延伸2-(无穷)空地： 争地频率在全时段上都为0的一个势力也称一块空地，如空地A有k(A)=0,(t∈AT)，空地只能被别势力争地，而不能向别势力争地。空地势力的灭亡也称为占完。特别地，空地的实力可以为正无穷，称为无穷空地，如无穷空地A有P(A)=+∞，可以提供无尽的实力让别势力争地，且不会因为被争地而使实力从正无穷减少。 推导1-开拓空地： 假设世界W内只有A势力从初时刻开始对无穷空地B争地，lt=+∞，则由决定式得v(A,B,t)=[k*P](A,t)=P’(A)，解微分方程得 P(A,t)=P(A,ft)*e^[k(A)*(t-ft)], P(B,t)=+∞,∀t∈AT=[ft,+∞)。 举例1-俄扩远东： W(俄扩远东)={俄属远东,原始西伯利亚},t0=西元元年,1w=一年,ft=1598w=1598A.C.,lt=1637w=1637A.C.,1p=一万km²,P(俄属远东,ft)=P(西伯利亚汗国,1581w)=100p=100万km²,P(原始西伯利亚,ft)=1100p=1100万km²,k(俄属远东)=0.06372,则由推导1的A势力部分得, P(俄属远东,ft)=100*e^[0.0637156*(t-ft)],(∀t∈AT),∴实力年表如下： A.C. P(俄属远东) （≈万km²） 1598 100 1603 140 1608 190 1613 260 1618 360 1623 490 1628 680 1633 930 1637 1200 定义19-净争地： 若A势力与B势力互相争地，则A对B减去B对A的争地量，剩下的就是A对B之间的净争地，记作△(A,B,T)=△z(A,B,T)-△z(B,A,T)，净争地与争地相似地有速度和速率，都为相应的差，故交换A,B，数值都相反。 公式5-势差净变： 假设世界W内只有A,B两势力从初时刻连续互相争地，由公式3得A与B的实力之差的变化即为净争地的二倍，表示为 △P(A-B,T)=2*△(A,B,T)， 又由导数形式得 P’(A-B,t)=2*v△(A,B,t)。 公式6-点差攻率： 假设世界W内只有A,B两实力从初时刻连续互相争地，且争地频率相等，即 k(A)=K(B)=k，则A对B的净争地速率与A与B的实力之差成正比，其正比率就为世界W的争地频率，即v△(A,B,t)=k*P(A-B,t)。 推导2-同频对决： 联立公式5,6得到微分方程P’(A-B,t)=2*k*P(A-B,t)， 设Tz=[ft,t1]，则解得P(A-B,t)=e^[2*k*(t-ft)]*P(A-B,ft),t∈Tz，代入公式2得 P(A,t)={P(A+B,ft)+P(A-B,ft)*e^[2*k*(t-ft)]}/2, P(B,t)={[P(A+B,ft)-P(A-B,ft)*e^[2*k*(t-ft)]}/2,(∀t∈Tz)； 假设P(A-B,ft)>0,P(B,t1)=0,t1<lt，则解得在t1=ft+log{P[(A+B)/(A-B),ft]}/(2*k)时，B势力开始灭亡，而A势力开始统一世界W，争地结束。而在Tz0=[t1,lt]内，都有A势力统一世界W且B势力灭亡，其中P(A)=P(W)=P(A+B,ft),△Tz=t1-ft。 举例2-中华黎明: W(中华黎明)={秦,楚},t0=西元元年,ft=始皇元初=-246w≈246B.C.1月,lt=-221w=始皇二十五年初≈246B.C.1月,1w=一年,P(秦,ft)=120p=,P(楚,ft)=90p,P(中华黎明)=P(秦+楚,ft)=210p,1p=一座城池,k=0.1hz,t1=楚哀时刻,Tz=[始皇元初,楚哀时刻]=裂时,Tz0=[楚哀时刻,始皇二十五年初]=统时，代入推导2得 P(秦,t)={P(中华黎明)+P(秦-楚,始皇元初)*e^[2*k*(t-始皇元初)]}/2={210+30e^[2*0.4*(t-ft)]}/2=105+15e^0.2(t-ft)（p）（座城池), P(楚,t)={[P(中华黎明)-P(秦-楚,始皇元初)*e^[2*k*(t-始皇元初)]}/2={210-30e^[2*0.4*(t-ft)}/2=105-15e^0.2(t-ft)（p）（座城池）,(∀t∈裂时)； 又∵P(秦-楚,始皇元初)=120-90=30(p)>0,∴又由推导2得楚哀时刻=始皇元初+2*log{P[(秦+楚)/(秦-楚),始皇元初]}/k=-246+log{210/30}/(2*0.1)=5log7-246≈-236.27(w)≈始皇十年九月=237B.C.9月，楚国开始灭亡，而秦国开始统一中华黎明，争地纷战结束。而在统时=[始皇十年九月,始皇二十五年初]内，都有秦国统一中华黎明且楚国灭亡，其中P(秦)=P(中华黎明)=210座城池，争时长△Tz≈9.73w≈九年九月，实力年表如下： (始皇年初) (≈座城池) (△z) 时刻 秦国 楚国 攻城 元年 120 90 0 二年 123 87 3 三年 127 83 4 四年 132 78 5 五年 138 72 6 六年 146 64 8 七年 155 55 9 八年 166 44 11 九年 180 30 14 十年 196 14 16 十一年 210 0 14 ......年 210 0 0 二十五年 210 0 0 推导 定义20-割地： 割地是在一个时刻内，一个势力向另一个势力割让一定实力的行为。割地的符号为c(cede)。在t1时刻，A势力向B势力割让实力△P＞0，记作c(A,B,t1,△P)，其中A称为割地势力，B称为受地势力，t称为割地时刻，△P称为割地量，也记作△P=△c(A,B,t1)。割地时刻是争地势力与受地势力的实力函数的在t上的跳跃间断点，且有P(A,t1)=lim(t→t1+)P(A)=lim(t→t1-)P(A)-△c(A,B,t1), P(B,t1)=lim(t→t1+)P(B)=lim(t→t1-)P(B)+△c(A,B,t1)。 举例3-布匿战争： W=第一次布匿战争=Punic War 1={Rome,Carthage}={罗马,迦太基},t0=西元元年,ft=-264w,lt=-241w,1w=一年,P(Rome,ft)=13756p年,P(Carthage,ft)=13244p,1p=1塔兰特/年,k=0.062hz，代入推导2得，P(Rome,ft)=13500+256*e^[0.124(t-ft)], P(Carthage,ft)=13500-256*e^[0.124(t-ft)], 当t→lt-时，P(Rome)≈17934.53p,P(Carthage)≈9065.47p，可知两势力始终存活互争，Tz=AT，但又因为lt时迦太基决定向罗马割地赔款c(Carthage,Rome,lt,△P),△P=3200p=3200塔兰特/年，以求结束战争，所以P(Carthage,lt)≈9065.47-3200=5865.47(p),P(Rome,lt)≈17934.53+3200=21134.53(p)。 第一次布匿战争打了△Tz=23w=23年，实力年表如下：
（≈塔兰特/年）
B. C. P(Rome) P(Carthage) 264 13756.00 13244.00 263 13789.80 13210.20 262 13828.05 13171.95 261 13871.36 13128.64 260 13920.39 12079.61 259 13975.89 13024.11 258 14038.71 12961.29 257 14109.83 12890.17 256 14190.34 12809.66 255 14281.47 12718.53 254 14384.64 12615.36 253 14501.42 12498.58 252 14633.63 12066.37 251 14783.28 12216.72 250 14952.70 12047.30 249 15144.48 11855.52 248 15361.57 11638.43 247 15607.33 11392.67 246 15885.53 11114.47 245 16200.46 10799.54 244 16556.96 10443.04 243 16960.53 10039.47 242 17417.38 9582.62 →241 17934.53 9065.47 241 21135.53 5865.47 实力函数图像如图1所示： 公式7-异频差争： 假设世界W内只有A,B两势力互相争地，且k(A)≠k(B)，则由定义18,19得 V△(A,B,t)=v(A,B,t)-v(B,A,t)=[k*P](A-B,t)。 推导3-异频对决： 联立公式2,5,7得到微分方程P’(A,t)=-P’(B,t)=v△(A,B,t)=[k*P](A-B,t)， 求导并自代入得 V△’(A,B,t)=k(A)*P’(A,t)-k(B)*P’(B,t)=k(A+B)*P’(A,t)=k(A+B)*v△(A,B,t)， 解微分方程得 P’(A,t)=-P’(B,t)=v△(A,B,t)=v△(A,B,ft)*e^[k(A+B)*(t-ft)]=[k*P](A-B,ft)*e^[k(A+B)*(t-ft)]， 再在T=[ft,t]上积分得 P(A,t)=P(A,ft)+[k*P](A-B,ft)*{e^[k(A+B)*(t-ft)]-1}/k(A+B)={k(B)P(A+B)+[k*P](A-B,ft)*e^[k(A+B)*(t-ft)]}/k(A+B), P(B,t)=P(B,ft)+[k*P](B-A,ft)*{e^[k(A+B)*(t-ft)]-1}/k(A+B)={k(A)P(A+B)-[k*P](A-B,ft)*e^[k(A+B)*(t-ft)]}/k(A+B),(∀t∈Tz)； 假设[k*P](A-B,ft)>0,P(B,t1)=0,t1<lt，则解得t1=ft+【log{k(A)*P(A+B,ft)/[k*P](A-B,ft)}】/k(A+B)，且Tz=[ft,t1],Tz0=[t1,lt]。 举例4-南壁北战： W(南壁北战)={元,明},1p=一县,P(W)=1328p=1324县,1w=一个月,t0=0w=ft=洪武元月初,lt=8.05w=洪武元年九月二日午时, P(元,ft)=P(明,ft)=664p=664县,k(元)=0.075hz＜k(明)=0.125hz，代入推导3得 T1=ft+【log{k(明)*P(明+元,ft)/[k*P](明-元,ft)}】】/k(明+元)={logk[2*明/(明-元)]}/k(明+元)≈8.05w=lt,∴可近似认为Tz=AT,Tz0= Ø,∴ P(明,t)={k(元)P(明+元)+[k*P](明-元,ft)*e^[k(明+元)*(t-ft)]}/k(明+元)=P(明,ft)*{2*k(元)+k(明-元)*e^[k(明+元)*(t-ft)]}/k(明+元)=498+166*e^(t/5) ,P(元,t)={k(明)P(明+元)-[k*P](明-元,ft)*e^[k(明+元)*(t-ft)]}/k(明+元)=P(明,ft)*{2*k(明)-k(明-元)*e^[k(明+元)*(t-ft)]}/k(明+元)=830-166*e^(t/5),(∀t∈AT); 实力年表如下： (≈县数) 洪武元年 元朝 明朝
元月初 662 662 二月初 627 701 三月初 582 746 四月初 528 800 五月初 461 867 六月初 379 949 七月初 279 1049 八月初 157 1171 九月初 8 1320
二日午时 0 1328 实力函数图像如图2所示： 举例5-亚历山大： W(亚历山大征服)={马其顿,波斯},1p=1万人口,P(W)=2055p=2055万人口,t0=西元元年,1w=一年,ft=-334w=334B.C.,lt=-329w=329B.C.,P(马其顿,ft)=184p=184万人口,P(波斯,ft)=1871p=1871万人口,k(马其顿)=0.60405hz,k(波斯)=0.031792hz,∵[k*P](马其顿)=51.662＞0,∴代入推导3得， T1≈-329w=lt,∴可近似认为Tz=AT,Tz0= Ø, ∴P(马其顿,t)≈102.75+81.25*e^[0.635842*(t-ft)], P(波斯,t)≈1952.25-81.25*e^[0.635842*(t-ft)],(∀t∈AT); 实力年表如下： (≈万人) B.C. 马其顿 波斯 334 184.0 1871.0 333 256.2 1798.8 332 392.6 1662.4 331 650.1 1404.9 330 1136.4 918.6 329 2055.0 0.0 实力函数图像如图3所示：