實數系爭地理論 第一章 單次爭地 定義1-勢力： 勢力是這個領域最基礎的研究對象與理論單位。 定義2-世界： 世界是特定一些勢力的集合，只有在同一個世界中的勢力才能互動，世界的通稱符號為W(World)，若有名字，則記作W(世界名)。 定義3-勢力名： 每個勢力都至少有一個名字，稱為國名。同一個世界中的勢力不能重名，而不同世界中的勢力可以重名。國名的通稱為n(name)。世界W里的同一個勢力的不同國名構成W上的一個等價類。 延伸1-廣義國名： 國名之間的運算表示相同函數對不同勢力間運算的省略，世界名W也可以代表世界W內所有國名的總和。世界W里的國名與實數的全部運算結果構成W上的廣義國名域RN(W)，其中的元素為廣義上的國名N∈RN(W)。在複合函數上的國名運算，同括號等級下函數的導數與積分順序最優先，國名運算居中，函數複合靠後。 定義4-時刻： 時刻是時間在瞬間的度量，符號為t(time)。時刻是一個實數，單位為回合，單位符號為w(wave)。 定義5-零時刻： 零時刻是時間軸的原點，時間系的參考時刻。零時刻記作t0=0(w)，其它所有時刻都是相對於零時刻而言的。 定義6-初時刻： 初時刻是一個世界最開始推演的時刻，記作ft(first time)。世界的所有初始條件都要在初時刻精確輸入。初時刻必須為實數。 定義7-末時刻： 初時刻是一個世界最後結束推演的時刻，記作lt(last time)。世界的所有推演結果都要在初時刻精確輸出。末時刻可以為實數或正無窮，即lt∈R∪{+∞}。 定義8-時段： 時段是無限多時刻組成的閉區間，記作T=[t1,t2]，其中t1,t2分別是時段的左端點和右端點。 定義9-時長： 時長是表示時段長度的正實數，記作△T=△[t1,t2]=t2-t1，單位和時刻相同。 定義10-全時段： 全時段表示世界中全部的時間，是從初時段到末時刻的連續時刻集，記作AT(All Time)=[ft,lt]。特別地，若末時刻為正無窮，則全時段長不是正實數，而也是正無窮，且右側為開區間，即△AT=△[ft,lt)=[ft,+∞)=+∞(w)。 定義11-實力： 實力象徵一個勢力的綜合力量的總和，衡量一個勢力在世界上的強弱。實力用一個非負實數表示，符號為P(Power)，其單位為點，單位符號為p(point)。 實力是由國名和時刻決定的二元函數，記作P(N,t)。 定義12-統裂存亡： 當A勢力擁有所在的世界W內所有實力，即P(A)=P(W)時，稱A勢力統一世界W，為(W的)統勢力。若P(A)=0(p)，則稱A勢力滅亡，為亡勢力，此時A= 0，即有P(0)=0，A勢力未滅亡即A≠0，為存勢力。W(t)表示t時刻W內所有存勢力的集合。 定義13-爭地： 爭地是一個勢力奪取另一個勢力的實力的一段行為，前提條件是爭地勢力與被爭地勢力都不能滅亡。爭地是由爭地勢力，被爭地勢力和爭地時段決定的三元事件映射z(A,B,T)。 公式1-實力守恆： 經過任意時段內的全部爭地，全部爭地勢力與被爭地勢力的實力總和守恆。設W(ft)={A,B}，且只有A對B的爭地，則表現為 P(A+B,t1)=P(A+B,t2)=P(A+B,ft)， 寫成對時間t的導數形式為 P'(A+B,t)=0。 公式2-雙實力解： 由公式1的實力守恆推導得 P(A,t)=[P(A+B,ft)+P(A-B,t)]/2, P(B,t)=[P(A+B,ft)+P(B-A,t)]/2， 寫成對時間t的導數形式為 P'(A,t)=P'(A-B,t)/2, P'(A,t)=P'(B-A,t)/2。 定義14-爭地量： 爭地量是表示一段爭地奪取的點數的多少的一個實數，記作△z(A,B,T)，單位和實力相同。 定義15-爭地速度： 爭地速度是表示一段爭地平均快慢的實數，記作｀z(A,B,T)=△z(A,B,T)/△T，單位為點/回合，單位符號為p/w。 定義16-爭地速率： 爭地速率是爭地速度在其時長趨於零，即時段趨於某時刻時的極限，是一個表示該時刻爭地快慢的實數，符號為v(velocity)，單位與爭地速度相同。爭地速率是由爭地勢力，被爭地勢力與時刻決定的三元函數，記作v(A,B,t)=lim(t1→t+)`z(A,B,[t,t1])=dz/dt。 公式3-奪損相等： 設W(ft)={A,B}，且只有A對B的爭地，則爭地勢力奪得的爭地量與被爭地勢力損失的爭地量相等，即 △P(A,T)=-△P(B,T)=△z(A,B,T),△P(A-B,T)=2*△z(A,B,T)， 兩邊求導得 P'(A,t)=-P'(B,t)=v(A,B,t),P'(A-B,t)=2*v(A,B,t)。 定義17-(無)爭時段： T(A,B,z)表示A勢力對B勢力爭地的時段，稱為A對B的爭時段，定義式為T(A,B,z)={t:v(A,B,t)>0}，相對地，T(A,B,z0)表示A勢力對B勢力無爭地的爭時段，稱為無爭時段，定義式為T(A,B,z0)={t:v(A,B,t)=0}。爭時段和無爭時段都為無限連續時刻集。全世界的爭時段與無爭時段分別簡記作Tz=T(W,W,z)與Tz0=T(W,W,z0)，其併集即為總時段，即Tz∪Tz0=AT。 公式4-勢不自爭： 任意勢力A在全時段上對自身的爭地量為零，即△P(A,A,AT)=0，故計算A的總爭地量與總被爭地量時默認將A排除在外地W，即△P(A,W,T)=△P(A,W\{A},T),△P(W,A,T)=△P(W\{A},A,T)，且對本勢力全沒有爭時段，只有無爭時段充滿全時段，表示為T(A,A,z)=Ø,T(A,A,z0)=AT。 定義18-爭地頻率： 若按經典規則，爭地速率與爭地勢力的實力成正比，則其正比率稱為爭地頻率，符號為k=v(A,B,t)/P(A,t)，若該世界各勢力存在的爭地頻率都相等，則可記作k，若不等，則只能在該世界下記為k(A)。爭地頻率的定義式可以變形為爭地速率的一種決定式v(A,B,t)=[k*P](A,t)。爭地頻率的單位為點/回合*點=(回合)^(-1)=回茲，單位符號為1/w=hz(hetz)。 延伸2-(無窮)空地： 爭地頻率在全時段上都為0的一個勢力也稱一塊空地，如空地A有k(A)=0,(t∈AT)，空地只能被別勢力爭地，而不能向別勢力爭地。空地勢力的滅亡也稱為占完。特別地，空地的實力可以為正無窮，稱為無窮空地，如無窮空地A有P(A)=+∞，可以提供無盡的實力讓別勢力爭地，且不會因為被爭地而使實力從正無窮減少。 推導1-開拓空地： 假設世界W內只有A勢力從初時刻開始對無窮空地B爭地，lt=+∞，則由決定式得v(A,B,t)=[k*P](A,t)=P』(A)，解微分方程得 P(A,t)=P(A,ft)*e^[k(A)*(t-ft)], P(B,t)=+∞,∀t∈AT=[ft,+∞)。 舉例1-俄擴遠東： W(俄擴遠東)={俄屬遠東,原始西伯利亞},t0=西元元年,1w=一年,ft=1598w=1598A.C.,lt=1637w=1637A.C.,1p=一萬km²,P(俄屬遠東,ft)=P(西伯利亞汗國,1581w)=100p=100萬km²,P(原始西伯利亞,ft)=1100p=1100萬km²,k(俄屬遠東)=0.06372,則由推導1的A勢力部分得, P(俄屬遠東,ft)=100*e^[0.0637156*(t-ft)],(∀t∈AT),∴實力年表如下： A.C. P(俄屬遠東) （≈萬km²） 1598 100 1603 140 1608 190 1613 260 1618 360 1623 490 1628 680 1633 930 1637 1200 定義19-淨爭地： 若A勢力與B勢力互相爭地，則A對B減去B對A的爭地量，剩下的就是A對B之間的淨爭地，記作△(A,B,T)=△z(A,B,T)-△z(B,A,T)，淨爭地與爭地相似地有速度和速率，都為相應的差，故交換A,B，數值都相反。 公式5-勢差淨變： 假設世界W內只有A,B兩勢力從初時刻連續互相爭地，由公式3得A與B的實力之差的變化即為淨爭地的二倍，表示為 △P(A-B,T)=2*△(A,B,T)， 又由導數形式得 P』(A-B,t)=2*v△(A,B,t)。 公式6-點差攻率： 假設世界W內只有A,B兩實力從初時刻連續互相爭地，且爭地頻率相等，即 k(A)=K(B)=k，則A對B的淨爭地速率與A與B的實力之差成正比，其正比率就為世界W的爭地頻率，即v△(A,B,t)=k*P(A-B,t)。 推導2-同頻對決： 聯立公式5,6得到微分方程P』(A-B,t)=2*k*P(A-B,t)， 設Tz=[ft,t1]，則解得P(A-B,t)=e^[2*k*(t-ft)]*P(A-B,ft),t∈Tz，代入公式2得 P(A,t)={P(A+B,ft)+P(A-B,ft)*e^[2*k*(t-ft)]}/2, P(B,t)={[P(A+B,ft)-P(A-B,ft)*e^[2*k*(t-ft)]}/2,(∀t∈Tz)； 假設P(A-B,ft)>0,P(B,t1)=0,t1<lt，則解得在t1=ft+log{P[(A+B)/(A-B),ft]}/(2*k)時，B勢力開始滅亡，而A勢力開始統一世界W，爭地結束。而在Tz0=[t1,lt]內，都有A勢力統一世界W且B勢力滅亡，其中P(A)=P(W)=P(A+B,ft),△Tz=t1-ft。 舉例2-中華黎明: W(中華黎明)={秦,楚},t0=西元元年,ft=始皇元初=-246w≈246B.C.1月,lt=-221w=始皇二十五年初≈246B.C.1月,1w=一年,P(秦,ft)=120p=,P(楚,ft)=90p,P(中華黎明)=P(秦+楚,ft)=210p,1p=一座城池,k=0.1hz,t1=楚哀時刻,Tz=[始皇元初,楚哀時刻]=裂時,Tz0=[楚哀時刻,始皇二十五年初]=統時，代入推導2得 P(秦,t)={P(中華黎明)+P(秦-楚,始皇元初)*e^[2*k*(t-始皇元初)]}/2={210+30e^[2*0.4*(t-ft)]}/2=105+15e^0.2(t-ft)（p）（座城池), P(楚,t)={[P(中華黎明)-P(秦-楚,始皇元初)*e^[2*k*(t-始皇元初)]}/2={210-30e^[2*0.4*(t-ft)}/2=105-15e^0.2(t-ft)（p）（座城池）,(∀t∈裂時)； 又∵P(秦-楚,始皇元初)=120-90=30(p)>0,∴又由推導2得楚哀時刻=始皇元初+2*log{P[(秦+楚)/(秦-楚),始皇元初]}/k=-246+log{210/30}/(2*0.1)=5log7-246≈-236.27(w)≈始皇十年九月=237B.C.9月，楚國開始滅亡，而秦國開始統一中華黎明，爭地紛戰結束。而在統時=[始皇十年九月,始皇二十五年初]內，都有秦國統一中華黎明且楚國滅亡，其中P(秦)=P(中華黎明)=210座城池，爭時長△Tz≈9.73w≈九年九月，實力年表如下： (始皇年初) (≈座城池) (△z) 時刻 秦國 楚國 攻城 元年 120 90 0 二年 123 87 3 三年 127 83 4 四年 132 78 5 五年 138 72 6 六年 146 64 8 七年 155 55 9 八年 166 44 11 九年 180 30 14 十年 196 14 16 十一年 210 0 14 ......年 210 0 0 二十五年 210 0 0 推導 定義20-割地： 割地是在一個時刻內，一個勢力向另一個勢力割讓一定實力的行為。割地的符號為c(cede)。在t1時刻，A勢力向B勢力割讓實力△P＞0，記作c(A,B,t1,△P)，其中A稱為割地勢力，B稱為受地勢力，t稱為割地時刻，△P稱為割地量，也記作△P=△c(A,B,t1)。割地時刻是爭地勢力與受地勢力的實力函數的在t上的跳躍間斷點，且有P(A,t1)=lim(t→t1+)P(A)=lim(t→t1-)P(A)-△c(A,B,t1), P(B,t1)=lim(t→t1+)P(B)=lim(t→t1-)P(B)+△c(A,B,t1)。 舉例3-布匿戰爭： W=第一次布匿戰爭=Punic War 1={Rome,Carthage}={羅馬,迦太基},t0=西元元年,ft=-264w,lt=-241w,1w=一年,P(Rome,ft)=13756p年,P(Carthage,ft)=13244p,1p=1塔蘭特/年,k=0.062hz，代入推導2得，P(Rome,ft)=13500+256*e^[0.124(t-ft)], P(Carthage,ft)=13500-256*e^[0.124(t-ft)], 當t→lt-時，P(Rome)≈17934.53p,P(Carthage)≈9065.47p，可知兩勢力始終存活互爭，Tz=AT，但又因為lt時迦太基決定向羅馬割地賠款c(Carthage,Rome,lt,△P),△P=3200p=3200塔蘭特/年，以求結束戰爭，所以P(Carthage,lt)≈9065.47-3200=5865.47(p),P(Rome,lt)≈17934.53+3200=21134.53(p)。 第一次布匿戰爭打了△Tz=23w=23年，實力年表如下：
（≈塔兰特/年）
B. C. P(Rome) P(Carthage) 264 13756.00 13244.00 263 13789.80 13210.20 262 13828.05 13171.95 261 13871.36 13128.64 260 13920.39 12079.61 259 13975.89 13024.11 258 14038.71 12961.29 257 14109.83 12890.17 256 14190.34 12809.66 255 14281.47 12718.53 254 14384.64 12615.36 253 14501.42 12498.58 252 14633.63 12066.37 251 14783.28 12216.72 250 14952.70 12047.30 249 15144.48 11855.52 248 15361.57 11638.43 247 15607.33 11392.67 246 15885.53 11114.47 245 16200.46 10799.54 244 16556.96 10443.04 243 16960.53 10039.47 242 17417.38 9582.62 →241 17934.53 9065.47 241 21135.53 5865.47 實力函數圖像如圖1所示： 公式7-異頻差爭： 假設世界W內只有A,B兩勢力互相爭地，且k(A)≠k(B)，則由定義18,19得 V△(A,B,t)=v(A,B,t)-v(B,A,t)=[k*P](A-B,t)。 推導3-異頻對決： 聯立公式2,5,7得到微分方程P』(A,t)=-P』(B,t)=v△(A,B,t)=[k*P](A-B,t)， 求導並自代入得 V△』(A,B,t)=k(A)*P』(A,t)-k(B)*P』(B,t)=k(A+B)*P』(A,t)=k(A+B)*v△(A,B,t)， 解微分方程得 P』(A,t)=-P』(B,t)=v△(A,B,t)=v△(A,B,ft)*e^[k(A+B)*(t-ft)]=[k*P](A-B,ft)*e^[k(A+B)*(t-ft)]， 再在T=[ft,t]上積分得 P(A,t)=P(A,ft)+[k*P](A-B,ft)*{e^[k(A+B)*(t-ft)]-1}/k(A+B)={k(B)P(A+B)+[k*P](A-B,ft)*e^[k(A+B)*(t-ft)]}/k(A+B), P(B,t)=P(B,ft)+[k*P](B-A,ft)*{e^[k(A+B)*(t-ft)]-1}/k(A+B)={k(A)P(A+B)-[k*P](A-B,ft)*e^[k(A+B)*(t-ft)]}/k(A+B),(∀t∈Tz)； 假設[k*P](A-B,ft)>0,P(B,t1)=0,t1<lt，則解得t1=ft+【log{k(A)*P(A+B,ft)/[k*P](A-B,ft)}】/k(A+B)，且Tz=[ft,t1],Tz0=[t1,lt]。 舉例4-南壁北戰： W(南壁北戰)={元,明},1p=一縣,P(W)=1328p=1324縣,1w=一個月,t0=0w=ft=洪武元月初,lt=8.05w=洪武元年九月二日午時, P(元,ft)=P(明,ft)=664p=664縣,k(元)=0.075hz＜k(明)=0.125hz，代入推導3得 T1=ft+【log{k(明)*P(明+元,ft)/[k*P](明-元,ft)}】】/k(明+元)={logk[2*明/(明-元)]}/k(明+元)≈8.05w=lt,∴可近似認為Tz=AT,Tz0= Ø,∴ P(明,t)={k(元)P(明+元)+[k*P](明-元,ft)*e^[k(明+元)*(t-ft)]}/k(明+元)=P(明,ft)*{2*k(元)+k(明-元)*e^[k(明+元)*(t-ft)]}/k(明+元)=498+166*e^(t/5) ,P(元,t)={k(明)P(明+元)-[k*P](明-元,ft)*e^[k(明+元)*(t-ft)]}/k(明+元)=P(明,ft)*{2*k(明)-k(明-元)*e^[k(明+元)*(t-ft)]}/k(明+元)=830-166*e^(t/5),(∀t∈AT); 實力年表如下： (≈縣數) 洪武元年 元朝 明朝
元月初 662 662 二月初 627 701 三月初 582 746 四月初 528 800 五月初 461 867 六月初 379 949 七月初 279 1049 八月初 157 1171 九月初 8 1320
二日午時 0 1328 實力函數圖像如圖2所示： 舉例5-亞歷山大： W(亞歷山大征服)={馬其頓,波斯},1p=1萬人口,P(W)=2055p=2055萬人口,t0=西元元年,1w=一年,ft=-334w=334B.C.,lt=-329w=329B.C.,P(馬其頓,ft)=184p=184萬人口,P(波斯,ft)=1871p=1871萬人口,k(馬其頓)=0.60405hz,k(波斯)=0.031792hz,∵[k*P](馬其頓)=51.662＞0,∴代入推導3得， T1≈-329w=lt,∴可近似認為Tz=AT,Tz0= Ø, ∴P(馬其頓,t)≈102.75+81.25*e^[0.635842*(t-ft)], P(波斯,t)≈1952.25-81.25*e^[0.635842*(t-ft)],(∀t∈AT); 實力年表如下： (≈萬人) B.C. 馬其頓 波斯 334 184.0 1871.0 333 256.2 1798.8 332 392.6 1662.4 331 650.1 1404.9 330 1136.4 918.6 329 2055.0 0.0 實力函數圖像如圖3所示：